Derivabilitat | Matemàtiques 

Exercici 1 2 Considereu la funció f(x)- a ax x-1 a) Determineu els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades, i les equacions de les seves possibles asímptotes verticals, horitzontals i obliqúes. 1 punt] b) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la corba y =f(x) en els punts x=0 i x=2. Aquestes dues rectes són paralleles2 Justifiqueu la resposta. 1 punt] c) Hi ha algun punt on la recta tangent a f(x) tingui pendent 1? En cas afirmatiu, tro- beu-lo. 0,5 punts]

Exercici 1 Considereu la funció f(x)=+V1+ x. a) Indiqueu el domini d'aquesta funció i els talls de la corba y =f(x) amb els eixos de coordenades. 0,5 punts) b) Resoleu l'equació f'(x)=0 i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció f(x), així com els seus màxims i mínims locals. 1 punt] c) Trobeu quin ha de ser el valor de a per tal que el punt (a, 3) pertanyi a la gráfica de la funció i calculeu l'equació de la recta tangent a la corba y — f(x) en aquest punt. 1 punt]

Exercici 4 Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les questions que s'hi plantegen. OPCIÓ A El dissenyador d'una casa de perfums ha decidit que l'ampolla del proper perfum que l'empresa traurà al mercat serà de vidre i tindrà la forma d'un cilindre amb una mitja esfera a la part superior, tal com es pot veure a la figura segúent: El perfum estarà contingut a la part cilíndrica, la qual té una capacitat de 100 cm. L'enginyer a càrrec del procés de producció es proposa minimitzar el cost total del vidre usat i, per tant, vol que la superfície total de l'ampolla sigui mínima. a) Comproveu que la superfície total de l'ampolla de perfum ve donada per la fórmula S(r)=3nr? Pi [1 punt] h b) Quines dimensions ha de tenir l'ampolla de perfum perquè la superfície total sigui mínima? Quina és la superfície total de l'ampolla en aquest cas? (1,5 punts) Nora: Recordeu que la superfície d'una esfera ve donada per la fórmula 47r", on r és el seu radi.

Exercici 1 Una família vol comprar un terreny per a fer-s'hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penya-segats segueixen les rectes y=0 i y=3x. A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt P — (1, 1), tal com es pot veure en la figura. IN v v MM o a) Plantegeu l'equació de la recta r que defineix el tercer costat del triangle en funció del 2 1 > -2m+1 seu pendent mm, i comproveu que l'àrea del terreny ve donada per A(m) = 2 oa [1 punt] 2 b) Calculeu el valor de m que fa que l'àrea d'aquest terreny (i, per tant, el seu preu) sigui mínima. Quin és el valor d'aquesta àrea2 (1,5 punts) mé —3m

Una empresa de calçat esportiu ha creat una sabatilla amb amortiment per a minimitzar les lesions per sesamoiditis. Els beneficis generats per la venda d'aquest producte, en milers d'euros, segueixen una funció de la forma f(x) = axò + bx? + cx, on x són els anys transcorreguts des que la sabatilla va sortir a la venda i a, b i c són constants reals. c) Calculeu els valors de a, b i c sabent que el primer any es van obtenir el màxim de beneficis, amb un valor de 8 000 euros, i que el segon any va haver-hi un punt d'infle- xió en els beneficis. [1 punt]

c) Estudieu els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement, de la funció f(x) — 2", definida per x SO. IH punt]

4. OPCIÓ B. Volem construir un petit cobert de fusta de 6 m* de volum, en forma de prisma rectangular, adossat a la paret lateral d'una casa, PE guardar-hi llenya. Només cal construir, per tant, el sostre i tres parets (la paret del fons del cobert és la de la casa a la el està adossat). A més, volem que el cobert mesuri el triple d'amplària que de fondària. ada metre quadrat de paret té un cost de construcció de 30 € i el sostre costa 50 €/m?. Un cop construit el cobert, afegir-hi una porta té un cost fix de 35 €. a) Comproveu que el cost de construcció del cobert és determinat per la funció 300 . C(x)== + 15027 + 35, on x és la fondària del cobert en metres. x [1,25 punts] b) Calculeu quines han de ser les dimensions del cobert per tal que el cost de construcció sigui mínim i justifiqueu la resposta. Quin és aquest cost? [1,25 punts]