Funcions | Matemàtiques 

Considereu la funció f(x) — —2 + 10 (x — 1) In x, definida per a x >0. a) Comproveu que f(x) té una arrel a l'interval (1, 1,5] i busqueu un interval d'una dèci- ma de longitud que també contingui aquesta mateixa arrel. [0,75 punts) b) Sense calcular els punts crítics, justifiqueu que f(x) és decreixent a l'interval (0, 1) i creixent a (1, +00). Quins màxims i mínims té aquesta funció? [1 punt] c) Calculeu lim f(x) i lim f(x), i feu un esbós de la gráfica d'aquesta funció. [0,75 punts] > =>

Calculeu els coeficients a, b, ci d de la funció f(x) — axò + bx" 4 cx + d si sabem que l'equa- ció de la recta tangent a la gràfica de la funció fen el punt d'inflexió (1, 0) és y- —3x +3 que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d'abscissa x — 0. (2,5 punts)

2 6. Siguila funció f ae TIÓ x +1 a) Calculeu els valors dels parámetres a i b si sabem que la gráfica de la funció f té un . . 13 extrem relatiu en x=-1 i passa pel punt P - - >) [1,25 punts] 5 b) Per al cas a=b, calculeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció. [1,25 punts]

6. La columna de l'esquerra de la taula segúent mostra l'esquema d'un programa informàtic que s'ha elaborat per a trobar solucions aproximades d'una equació f(x) =0 en un interval (a, b), sabent que f(a) - f(b) € 0. La columna de la dreta recull un exemple de funciona- ment del programa en què es pot veure com actuaria per trobar una solució de l'equació x + In(x) = 0 entre els valors a— 0,5 i b=2. Esquema del programa Exemple Escriure «Introduiu un valor a» L'usuari introdueix a=0,5 Escriure «Introduiu un valor bh» L'usuari introdueix b=2 Escriure «Introduíu una funció f(x)» L'usuari introdueix f(x) =x +1n(x) cl dl E a Calcular c= (a + b)/2 El programa calcula la mitjana entre a i b i li assigna el nom c=(0,5+2)/2=1,25 5. Si f(a) *f(c)<0, aleshores reassignar b=c; en cas contrari, reassignar a=c 6. Repetir els passos 4 i 5 tants cops com faci falta fins que f(a) — f(b) <0,00000001 El programa comprova que f(0,5) " f(1,25) = (0,5 +1n(0,5)) * (1,25 + In(1,25)) < 0; per tant, reassigna b — 1,25 El programa va repetint la comprovació anterior, canviant cada vegada els valors de a o de b: a b inici 0,5 2 iteració 1 0,5 1,25 iteració 2 0,5 0,875 iteració 3 0,5 0,6875 iteració 4 0,5 0,59375 iteració 5 0,546875 0,59375 iteració 6 0,546875 0,5703125 iteració 7 0,55859375 0,5703125 [...] 7. Quan f(a) - f(b) < 0,00000001, escriure: «La solució de l'equació és co i aturar el programa a) Expliqueu per què aquest programa és Després d'unes 30 iteracions, el programa escriu: «La solució de l'equació és 0,56714329» capaç de trobar una solució aproximada de l'equació x + In(x) =0 entre els valors a 0,5 i b - 2. (1,25 punts) b) Volem aplicar aquest programa per a trobar les tres arrels de f(x) — xò — 3x" 4 l amb valors de a i b diferents. Trobeu justificadament entre quins valors a i b, per a cada arrel, hem d'aplicar el programa per a trobar aproximacions de cadascuna de les tres arrels de la funció. [1,25 punts)

2. Considereu la funció f(x)e————. x+x-2 a) Determineu el domini, les possibles asímptotes, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement de la funció. [1,25 punts] b) Calculeu Pequació general de la recta tangent a la funció f(x) en el punt d'abscissa x= 4. Representeu en un mateix gràfic la funció f(x) i la recta tangent. [1,25 punts]

o In(x), si x € (0, e) o 4. a) Considereu la funció f(x)= , on a i b són nombres reals. Trobeu ax+b, si x E fe, 4) el valor de a i de b per tal que la funció sigui contínua i derivable a l'interval (0, 4). (1,25 punts) 3 Xx 9x*+1 b) Calculeu la funció g(x) que satisfà g'(x)- [1,25 punts) i que passa pel punt (0, —1).